[yanik]

Удобной мерой корреляции между случайными числами является коэффициент корреляции:

~E(a,b) = P_{++}(a, b) - P_{+-}(a, b) - P_{-+}(a, b) + P_{--}(a, b).

Таким образом, квантово-механические расчеты исходят из предположения, что хотя каждое отдельное измерение дает случайные результаты, но эти случайные результаты коррелированы и в частном случае (для параллельных и перпендикулярных ориентаций поляризаторов) корреляция является полной (|E(a, b)| = 1).

Этот же факт дает основания для построения более полной теории со скрытыми параметрами, но нужно учитывать, что простые ее виды уже проверены в ряде экспериментов, и их результаты указывают на то, что такие определенные виды таких теорий построить невозможно.
Теорема Белла и ее экспериментальные проверки


S(a, a',b, b'), предсказываемая квантовой механикой для зацепленных пар фотонов. Конфликт с неравенствами Белла возникает при | S | > 2

Оптический вариант мысленного ЭПР-опыта, предложенного Бомом, и теорема Белла решающим образом повлияли на дискуссии о возможности полноты квантовой механики. Речь больше не шла о философской позиции, а стало возможным разрешение вопроса с помощью эксперимента.

Если можно приготовить пары фотонов (или частиц со спином 1/2) в зацепленном состоянии и измерить четыре числа совпадений N_{\pm\pm}(a, b) для детекторов на выходе измерительных каналов поляризаторов (или фильтров Штерна-Герлаха), то можно получить и поляризационный коэффициент корреляции для поляризаторов с ориентациями a и b:

E(a,b) = \frac {N_{++}(a, b) - N_{+-}(a, b) - N_{-+}(a, b) + N_{--}(a, b)} {N_{++}(a, b) + N_{+-}(a, b) + N_{-+}(a, b) + N_{--}(a, b)}

Выполнив четыре измерения этого типа с ориентациями ~(a, b), ~(a, b'), ~(a',b) и ~(a',b'), мы получим измеренное значение ~S(a,a',b,b') = E(a,b) - E(a,b') + E(a',b) + E (a',b'), необходимое для подстановки в неравенство Белла, которое имеет вид -2 \le S(a,a',b,b') \le 2 .

Выбрав ситуацию, при которой квантовая механика предсказывает, что эта величина не удовлетворяет неравенствам Белла (например, это максимально проявляется при углах (a, b) = \pm \frac {\pi} {8} = 22,5^\circ и (a, b) = \pm \frac {3\pi} {8} = 67,5^\circ, значение S(a,a',b,b') = |2 \sqrt {2}| \approx \pm 2,8284 ), мы получаем экспериментальный критерий, позволяющий выбрать между квантовой механикой и некоторой локальной теорией со скрытыми параметрами.